Quem conta um conto aumenta um ponto: Módulo II

Objetivo do módulo II: Apresentar as estruturas aditivas presentes nos problemas matemáticos compreendendo que as situações aditivas envolvem diferentes conceitos.

ESTRUTURAS ADITIVAS

Apresentaremos uma classificação para as estruturas aditivas que seja capaz de ajudar os professores, tanto na interpretação dos processos que os alunos usam na resolução de problemas de adição e subtração, quanto no entendimento maior sobre as dificuldades que esses alunos encontram na sua resolução. Esta classificação tem por objetivo oferecer uma estrutura teórica que auxilie o professor no entendimento do significado das diferentes representações simbólicas da adição e subtração, e de servir de base para o desenho de experiências sobre esses processos matemáticos na sala de aula. A razão teórica para as distinções na classificação é de origem tanto psicológica quanto matemática (Vergnaud, 1982).

Para dominar as estruturas aditivas, o aluno precisa ser capaz de resolver diversos tipos de situações-problema. Não basta saber operar um cálculo numérico. Por exemplo, por trás de uma operação tão simples como:

4 + 7

Podem-se encontrar problemas tão sofisticados que até alunos da 4ª série (aproximadamente 10-11 anos de idade) apresentam dificuldades para resolvê-los.

CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES-PROBLEMA NA ESTRUTURA ADITIVA

São três os grupos básicos de problema que podem ser classificados como: composição, transformação e comparação.

A classe de problemas de composição compreende as situações que envolvem parte/todo – juntar uma parte para obter o todo, ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte.

Exemplo:

Problema A - Ao redor da mesa da sala de jantar de minha casa, estão sentados 4 garotos e 7 garotas. Quantas pessoas estão sentadas ao redor da mesa?

Este problema é um caso de composição, em que “garotos” é uma parte do problema, “garotas” a outra parte, e a soma dessas duas partes, garotos e garotas, formam o todo das pessoas em volta da mesa.

Parte

+ Todo

Parte

A classe de problemas de transformação compreende situações em que a ideia temporal está sempre envolvida no estado inicial tem-se uma quantidade que se transforma (com perda/ganho; acréscimo/decréscimo; etc), chegando ao estado final com outra quantidade.

Exemplo:

Problema B – Maria comprou uma boneca por R$ 4,00 e ficou com R$ 7,00 na carteira. Quanto ela possuía antes de fazer a compra?

Este problema é um exemplo de uma situação aditiva que envolve transformação, em que Maria gastou um tanto (fez uma transformação da quantia que tinha, gastando R$ 4,00), sobrou R$ 7,00 em sua carteira – que é o estado final do dinheiro em sua carteira – e pergunta-se que quantia ela tinha inicialmente em sua carteira (estado inicial).

Estado inicial Estado final

A classe dos problemas de comparação diz respeito aos problemas que comparam duas quantidades, uma denominada referente e a outra de referido.

Exemplo:

Problema C – Carlos tem 4 anos. Maria é 7 anos mais velha que Carlos. Quantos anos tem Maria ?

Neste problema é dada a idade de Carlos (4 anos), e a idade de Maria é apontada em relação à idade de Carlos (ela é 7 anos mais velha que ele). Portanto a idade de Carlos é a referência – isto é, o referente no problema, para obter-se a idade de Maria que é o referido, através da relação, que neste caso é + 7.

Referido

Relação

Referente

Classe dos problemas mistos, os que envolvem vários tipos de situações simultaneamente, como exemplo:

Problema D – Roberto foi jogar videogame. Ao fim da primeira fase do jogo ele tinha perdido 4 pontos. Ele, então, foi para a segunda e última fase do jogo. Ele terminou o jogo com 7 pontos ganhos. O que aconteceu na segunda fase ?

Este problema apresenta uma composição de transformações.

Um dos primeiros tipos de problema que a criança domina é o de composição (parte/todo). Dada duas partes, pede-se para a criança obter o todo. A idéia envolvida nesses problemas de composição não é a de acrescentar, mas sim, a de juntar partes, cujos valores já são conhecidos. A maioria das crianças com 5 ou 6 anos, já não apresentam dificuldade em resolver este tipo de problema, porque esse procedimento requisitado de juntar as partes para achar o todo, é justamente a primeira situação de adição que a criança compreende, isto é, a primeira representação de adição que ela forma, e sua solução, em geral, está associada ao processo de contagem.

Exemplo:

Num tanque havia 6 peixes vermelhos e 7 peixes amarelos. Quantos peixes havia no tanque?

Modelo

de +

Adição

Este tipo de situação, modelo de adição, está relacionado com as primeiras experiências da criança com a operação de adição, as quais acontecem dentro o seu cotidiano e bem antes de ela iniciar a 1ª série do Ensino fundamental. Dizemos que é um raciocínio intuitivo, porque foi formado sem que ela se desse conta e seguirá com ela pelo resto da vida.

O próximo tipo de problema que a criança vem a dominar é o de adição e subtração que vem a ser alguns problemas de transformação, em que são dados o estado inicial e uma transformação, e pede-se o estado final.

Exemplo do modelo adição e subtração envolvendo a operação de adição.

Maria tinha 9 figurinhas e ganhou 4 figurinhas de seu pai. Quantas figurinhas Maria tem agora?