Cálculo mental e cálculo algorítmico
Partindo da perspectiva proposta no Currículo, os procedimentos de cálculo mental são definidos por contraste com aqueles que correspondem a cálculos algoritmizados. Estes últimos consistem em uma série de regras aplicáveis em uma ordem determinada, sempre do mesmo modo, independentemente dos dados, que garantem alcançar o resultado buscado em um número finito de passos. As contas convencionais utilizadas para resolver as operações são procedimentos do seguinte tipo: caracterizam-se por recorrer a uma única técnica para uma operação dada, sempre a mesma, independentemente de quais forem os números em jogo.
O cálculo mental, ao contrário, refere-se ao “conjunto de procedimentos que, após a análise dos dados a serem trabalhados, são articulados sem recorrer a um algoritmo preestabelecido, para obter resultados exatos ou aproximados” (Parra, 1994[1]). Isto é, caracteriza-se pela presença de uma diversidade de técnicas que se adaptam aos números em jogo e aos conhecimentos (ou preferências) do sujeito que as desenvolve.
Vamos analisar as características do cálculo mental, em relação ao cálculo algorítmico, a partir de alguns exemplos.
a) Quanto é necessário subtrair de 1.000 para obter 755? É possível responder essa pergunta por meio do algoritmo da subtração:
1.000
- 755
245
Por meio de estratégias de cálculo mental, poderia ser resolvida de diversas maneiras. Algumas possíveis seriam:
Calcular o complemento de 755 para 1.000 de diferentes maneiras, entre elas apoiando-se em números redondos:
755 + 5 = 760
760 + 40 = 800
800 + 200 = 1.000
200 + 40 + 5 = 245
Ir subtraindo sucessivos números de 1.000 até chegar a 755:
1000 – 200 = 800
800 – 45 = 755
200 + 45 = 245
b) A multiplicação 4 x 53 poderia ser resolvida mediante o algoritmo convencional da multiplicação ou com procedimentos de cálculo mental como os seguintes:
4 x 50 + 4 x 3
Como o dobro de 53 é 106, 4 x 53 é o dobro de 106, 212
Como podemos observar, a distinção entre cálculo algorítmico e cálculo mental não está no fato de que o primeiro seja escrito e o segundo não se apóie no uso de lápis e papel. Conforme mencionamos, o cálculo algorítmico utiliza sempre a mesma técnica para uma operação dada, qualquer que sejam os números.
Em contrapartida, quando se propõe um trabalho de cálculo mental não se espera uma única maneira possível de proceder. A ideia é instalar uma prática que exija diferentes estratégias baseadas em propriedades da numeração decimal e das operações. Ao desenvolver essas estratégias em uma situação específica, tornamos possível a análise das relações envolvidas nelas.
Os algoritmos convencionais para as operações também apelam para as propriedades dos números e das operações, só que, uma vez automatizados os mecanismos, como estes são sempre iguais, é possível resolvê-los sem considerar o sentido das decomposições dos números e das operações parciais realizadas. Na subtração de nosso exemplo, quando se “pede um para o número da ordem seguinte”, não há necessidade de pensar que estamos decompondo o 1.000 em 900 + 90 + 10.
No cálculo mental os números são tratados de maneira global, sem considerar seus algarismos isolados, como ocorre nos algoritmos convencionais. Isto, somado ao fato de ter de colocar em jogo estratégias específicas em função dos números com os quais se trabalha, habilita um maior controle das propriedades que tornam válida a estratégia utilizada.
Por outro lado, como veremos ao longo deste documento, para que os alunos produzam estratégias de cálculo mental cada vez mais elaboradas, eles deverão se apoiar tanto no conhecimento das propriedades das operações e do sistema de numeração como em resultados que deverão ter disponíveis em sua memória.
O fato de que o cálculo mental se diferencie do cálculo algorítmico não significa que se oponha a ele; é totalmente o contrário: os conhecimentos construídos sobre um e outro tipo de cálculo se alimentam reciprocamente. É finalidade da escola que os alunos se apropriem dos algoritmos convencionais para resolver as operações. Todo cálculo algorítmico oferece momentos de recorrer ao cálculo mental e se enriquece com suas contribuições, para antecipar e controlar a magnitude do resultado, para compreender o sentido dos passos do algoritmo convencional.
Os algoritmos convencionais são técnicas de cálculo valiosas, pela economia que procuram e pelo alívio que significa a automatização de certos mecanismos. A riqueza do trabalho sobre cálculo – mental e algorítmico – inclui o fato de que os alunos enfrentam o desafio de decidir a estratégia mais conveniente diante de cada situação específica. Nós nos referimos a uma automatização, mas ela deve caminhar ao lado de um longo trabalho de elaboração e de reflexão sobre as razões que fundamentam os mecanismos. Ao mesmo tempo, dispor de certos mecanismos automatizados enriquece as possibilidades de cálculo mental.
Em outros termos, o cálculo não algoritmizado abona a construção de relações que permitem uma aprendizagem das contas convencionais baseada na compreensão de seus passos, em um controle dos resultados intermediários e finais que obtemos. Ao mesmo tempo, a finalidade de transmitir os algoritmos vinculados com as operações se insere no âmbito da transmissão de um amplo leque de recursos de cálculo e de sua adequação com as situações que enfrentam. A prática de cálculo mental, sob certas condições, faz com que os procedimentos de cálculo dos alunos evoluam, e enriquece as conceituações numéricas das crianças (Butlen e Pezard, 1992[2]).
Dois tipos de conhecimentos no trabalho sobre cálculo mental
No trabalho com cálculo mental é possível distinguir dois aspectos: a sistematização de um conjunto de resultados e a construção de procedimentos pessoais. Vamos ver em que consistem esses dois aspectos.
a) A sistematização de um conjunto de resultados permite a construção progressiva de um repertório de adições, subtrações, multiplicações e divisões disponíveis de memória, ou que podem ser facilmente reconstruídos a partir dos que foram memorizados. Espera-se que os alunos possam utilizar seus conhecimentos sobre adições de números de um algarismo (por exemplo, 4 + 5) para conhecer outras com números de dois ou mais algarismos envolvidos (por exemplo, 40 + 50), ou também subtrações associadas a elas (por exemplo, 90 – 50 e 90 – 40). A questão é, em poucas palavras, conhecer e utilizar resultados memorizados e procedimentos automatizados com base na compreensão das relações envolvidas e do controle consequente das ações. Esse conjunto de conhecimentos a serem ensinados se refere a resultados de base (como as tabelas de multiplicação), que são utilizados tanto em cálculos mentais como algorítmicos.
Esse repertório de cálculos deveria ir incluindo no decorrer do primeiro e segundo ciclo[3]:
« Adições de números de 1 algarismo entre si: por exemplo 5 + 5; 5 + 6; etc.; subtrações associadas a essas somas: 11 – 5; 11 – 6; etc.
« Identificação de decomposições de 10; e das subtrações associadas a elas; identificação das decomposições aditivas do 100 em números “redondos”, e das subtrações associadas a elas.
« Somas de números “redondos” de duas algarismos mais um número de uma algarismo: por exemplo, 70 + 9; subtrações vinculadas a essas somas: por exemplo, 79 – 9.
« Cálculos que somem ou subtraiam 10 de um número qualquer; em seguida, cálculos que somem ou subtraiam 100 de um número qualquer, etc.
« Cálculos que somem ou subtraiam um número redondo de um número qualquer.
« Outras decomposições aditivas dos números vinculadas à organização do sistema de numeração. Por exemplo, 2.000 + 500 + 40 + 6; 800 + 7; 200 + 19, etc. Subtrações vinculadas a elas: por exemplo, 4.271 – 271; 384 – 80, etc.
« Cálculos de complementos de um número qualquer em relação a um número “redondo” por meio da análise das escritas numéricas. Por exemplo, quanto é preciso somar a 578 para obter 600.
« Resultados da tábua pitagórica para a multiplicação e uso desses conhecimentos para saber o quociente e o resto de dividendos menores que 100 e divisores de uma algarismo.
« Multiplicação por 10; 100; 1.000, etc. Divisão por 10; 100; 1.000, etc.
« Decomposições multiplicativas das escritas numéricas e cálculos associados a ela; por exemplo, 3 x 1.000 + 4 x 100 + 5 x 10 + 8, etc.
« Extensão dos conhecimentos sobre a tábua pitagórica para multiplicações com números “redondos” de mais de um algarismo. Por exemplo, 40 x 30; 200 x 500; 2.000 x 60, etc.
« Extensão dos conhecimentos sobre as divisões a partir dos resultados da tábua pitagórica e da divisão por 10, 100, 1.000, etc. para resolver outras divisões que envolvam números “redondos” como dividendos e divisores.
« Identificação de múltiplos e divisores.
« Etc.
Em síntese, também é um objetivo do cálculo mental que os alunos memorizem certos resultados ou possam recuperá-los facilmente. Insistimos que essa memorização deve estar apoiada na construção e identificação prévia de relações que teçam uma rede a partir da qual possam sustentar e dar sentido a ela.
b) A construção de procedimentos pessoais que permitem dar resposta a uma situação. Esse aspecto foi denominado de “cálculo pensado” ou “refletido” (Ermel, 2001[4]). Por não serem processos automatizados, eles consistem na apresentação de diferentes caminhos a partir de decisões que os alunos vão tomando durante a resolução. Essas decisões estão vinculadas à compreensão da tarefa, com diferentes relações que estabelecem, com o controle daquilo que vai acontecendo na resolução.
O cálculo mental permite, então, trabalhar sobre os números de maneira descontextualizada, familiariza os alunos com uma atividade matemática que também encontra sentido em si mesma: encontrar um procedimento, confrontar diferentes procedimentos, analisar sua validade. Coloca as crianças em situação de “encarar os números”; expressar um mesmo número de diferentes maneiras relacionadas com a numeração decimal. Por exemplo: estabelecer quais das seguintes decomposições são equivalentes ao número 5.348 requer analisar o significado de cada uma das algarismos em função da posição e das relações que tem com as posições contíguas e não contíguas:
5 x 1.000 + 4 x 10 + 3 x 100 + 8
53 x 100 + 48
5.348 51 x 100 + 24 x 10 + 8
53 x 100 + 40 x 10 + 8
Conforme dissemos, o cálculo mental também é uma boa oportunidade para pôr em funcionamento as propriedades das operações, para analisar seu domínio de validade, para identificá-las. Por exemplo: para resolver facilmente 43 + 99 é possível se apoiar na soma de 100, apelando para a propriedade associativa da soma: 43 + 99 = 43 + 100 – 1 = 143 – 1 = 142.
Outro exemplo: 9 x 8 pode ser pensado a partir de:
- o dobro que 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72;
- 9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;
- 9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72;
- 9 x 8 = 10 x 8 – 8 = 80 – 8 = 72;
- 9 x 10 – 9 x 2 = 90 – 18 = 72
- etc.
Essas relações estão baseadas na propriedade associativa e distributiva da soma e da subtração em relação à multiplicação.
Desse modo, o ensino do cálculo mental também oferece aos alunos a oportunidade de tomar consciência de que alguns cálculos são mais simples que outros, e que é possível se valer deles para resolver outros mais complexos. Por exemplo: 24 x 12 pode ser pensado como 24 x 10 + 24 x 2. Apela-se, assim, para propriedades das operações, fazendo com que intervenham para resolver verdadeiros problemas: nesse caso, facilitar o cálculo; em outros, demonstrar a validade de um procedimento.
A análise da validade das regras utilizadas, sua identificação dentro do conjunto de conhecimentos que os alunos terão mais tarde, será o resultado de um trabalho de reflexão sobre as resoluções que o professor realizar com toda a classe.
Dentro das estratégias de cálculo mental também se espera que os alunos desenvolvam, baseando-se nos cálculos mais simples, estratégias de estimativa, de cálculo aproximado. Por exemplo, é possível antecipar a quantidade de algarismos que terá o quociente de 4.579 : 37 a partir de sua inserção em multiplicações por potencias de dez: o quociente procurado é maior que 100 (porque 37 x 100 = 3.700) e menor que 1.000 (porque 37 x 1.000 = 37.000), isto é, terá três algarismos. Também é possível antecipar que estará mais próximo de 100 do que de 1.000 (porque 4.579 está mais próximo de 3.700 do que de 37.000). Para algumas situações, a procura de um resultado aproximado é suficiente; outras requerem encontrar um resultado exato. Para essas últimas, o cálculo aproximado é uma poderosa ferramenta de antecipação e de controle. Para que os alunos comecem a colocá-la em jogo é necessário – embora não suficiente – que o professor “empurre” nessa direção.
Em síntese, o cálculo mental – incluindo a construção de procedimentos mais pessoais e de repertórios de resultados memorizados – oferece uma oportunidade privilegiada de pôr em funcionamento as propriedades das operações relacionadas com as características do sistema de numeração posicional e decimal. Permite, por essa mesma razão, um aprofundamento nos conhecimentos sobre as operações e sobre nosso sistema de numeração.
A atividade matemática em sala de aula a respeito do cálculo mental
As decisões a cargo do aluno que resolve, as análises que ele pode fazer enquanto trabalha e as discussões sobre a validade de suas ideias com seus colegas e com o professor vão tecendo uma rede de conhecimentos que fundamentam o funcionamento dos números e das operações. Estimular em classe a busca de estratégias, sua explicitação e confrontação, sua circulação e difusão em momentos de intercâmbio permite que os alunos – ajudados pelo professor – identifiquem conhecimentos a serem guardados referentes aos números e aos cálculos. Ao mesmo tempo, as crianças participam da construção de critérios de validação dos procedimentos elaborados (como é possível ter certeza de que uma estratégia é correta, como mostrar o erro de um procedimento) e de critérios de escolha de procedimentos adequados em função da tarefa. Desse modo, por meio de um tipo de prática estamos comunicando à classe que esperamos que as produções sejam validadas, e que existem maneiras de fazer isso, que existem razões para que as resoluções estejam corretas ou não, que existem critérios para se escolher as maneiras de resolver e que essas podem ser mais ou menos adaptadas em função das situações específicas, que não existe casualidade. Esses aspectos poderão ser objeto de reflexão em sala de aula, para que possam ser identificados pelos alunos.
Isto é, assim como em todo trabalho matemático, a intenção é que os alunos tenham certa atitude intelectual diante dos problemas: que se animem a abordá-los com os conhecimentos disponíveis, a explorar, buscar por diferentes caminhos, enganar-se, comunicar aos outros, analisar a validade de procedimentos, etc. Às vezes, acredita-se que esse posicionamento depende de aptidões ou vontades particulares dos alunos; do nosso ponto de vista é uma aprendizagem que se consegue por um tipo de prática mantida no tempo.
O professor e as aulas de cálculo mental
O ensino de cálculo, então, faz parte do mesmo “clima” de trabalho matemático que queremos instalar nas aulas: de buscas, reflexões, discussões, argumentações, produção e análise de escritas matemáticas e identificação de novos conhecimentos. Nesse sentido, a intervenção do professor é fundamental: fazer explicitar e comparar os procedimentos levando os alunos a analisá-los e explicá-los (ou ele próprio colaborando nessas tarefas), são condições essenciais para promover avanços nos conhecimentos produzidos nesse espaço.
O desenvolvimento do trabalho que se propõe não pode ficar relegado a aulas isoladas, mas é preciso organizar uma progressão de aprendizagens, planejar uma sequência de ensino na qual cada novo conhecimento possa se apoiar naquilo que os alunos já conhecem, ao mesmo tempo em que introduz novidades, servindo também como base para novas aprendizagens. Isso requer um projeto de ensino cuja globalidade o professor pode conceber.
Um processo dessa natureza requer considerar tempos de aquisição de longo prazo, com sequências que envolvam uma variedade de situações que trabalhem os diferentes aspectos dos conceitos e, ao mesmo tempo, retomem questões já abordadas sucessivas vezes.
Embora os avanços nos recursos de cálculo mental sejam benéficos para todos, eles são principalmente para aqueles alunos que apresentam mais dificuldade, porque permitem que eles tenham acesso a estratégias que, às vezes, outros alunos elaboram por conta própria, estratégias que os posicionam melhor diante das situações, seja porque abre diferentes possibilidades de solução ou porque permite que realizem antecipações e um controle sobre as soluções mais convencionais.
Pode parecer paradoxal que o cálculo mental beneficie mais aqueles que têm mais dificuldade de acesso a ele. Sem dúvida, esses alunos costumam levar muito mais tempo para se apropriar de estratégias do que outros que a adquirem mais rapidamente. Essas diferenças nos tempos de aquisição fazem parte da heterogeneidade de conhecimentos característica de todos os grupos escolares. Quanto a isso, devemos ter clara a importância das intervenções do professor voltadas para a difusão, identificação e prática de certos procedimentos de cálculo mental para gerar avanços nos alunos que se apresentam como “mais fracos”.
Como administrar essa diversidade? É evidente que não existe uma única possibilidade. A organização das classes deverá ser planejada de acordo com as intenções do professor diante de cada situação específica. Às vezes, em dupla, para promover intercâmbios no momento de resolução; às vezes, individual, para que cada criança tenha a oportunidade de interagir sozinha diante do problema; às vezes, com toda a classe, etc.
Quando o trabalho é coletivo, geralmente os alunos que têm mais recursos dão respostas mais rapidamente, sem deixar tempo suficiente para que alguns de seus colegas possam pensar. Uma alternativa, nesses casos, é pedir que eles anotem a resposta em um papel e não a digam em voz alta até que o professor indique quem poderá dizer. Desse modo, estamos permitindo que todos tenham um tempo para pensar, para que as respostas quase que imediatas dos mais “rápidos” não inibam a possibilidade de que cada criança participe da tarefa proposta. Outras vezes, os alunos poderão trabalhar em pequenos grupos enquanto o professor se dedica especialmente àqueles que mais precisam de sua ajuda. Isto é, em algumas ocasiões poderão ser criados alguns espaços diferenciados que possibilitem a revisão de conhecimentos (repertórios, procedimentos, regras) de maneira mais sistemática para alguns grupos.
Quando o que se quer é que os alunos explorem procedimentos de resolução, as anotações daquilo que vão realizando são essenciais. E são por vários motivos. Por um lado, porque são um suporte para pensar a solução, tanto para lembrar passos e resultados intermediários como para refletir sobre o procedimento que está sendo seguido, enquanto a escrita “exterioriza” alguns aspectos desse conhecimento, transformando-o desse modo em objeto de análise. Por outro lado, são meios de comunicação dos procedimentos, indispensáveis quando precisam ser explicitados diante da classe.
Nós destacamos – e gostaríamos de voltar a ressaltar – a necessidade de identificar os novos conhecimentos que vão sendo elaborados no decorrer das atividades de cálculo mental e das discussões geradas a partir delas. Isto é, não basta explicitar e validar os procedimentos e as regras estabelecidas, mas é necessário que alguns (aqueles que têm um alcance mais geral) sejam reconhecidos e nomeados pelos professores, e também se desenvolva uma prática com eles que permita gerar uma certa automatização. Isso, às vezes, pode ser difícil: o que têm em comum os procedimentos ajustados a situações específicas? Quais são os aspectos generalizáveis desses procedimentos?
Nós sabemos que o ensino não pode ser rígido e que a aprendizagem não é linear. O projeto de ensino proporá situações abordáveis a partir de diferentes conhecimentos, ao mesmo tempo em que se adaptará ao progresso de cada aula e de cada aluno em particular.
Tradução livre para fins didáticos realizada por Priscila Monteiro: Este material é parte do “Plan Plurianual para el Mejoramiento de la enseñanza - Cálculo mental con números naturales – Docente” - Governo da Cidade de Buenos Aires, Secretaria de Educação, Direção Geral de Planejamento. Coordenação autoral: Patricia Sadovsky. Elaboração do material: María Emilia Quaranta, Héctor Ponce. |
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